无穷级数
发表于2026-05-10
更新于2026-05-10
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数项级数的概念：设${u_n}$是一个数列，则称$\sum_{n=1}^{\infty} u_n = u_1 + u_2 + \dots$
级数收敛：$\lim_{n\to\infty} S_n=S$ ( $S_n$ 是 $u_n$ 的前n项和 )
级数发散：$\lim_{n\to\infty} S_n$不存在
级数收敛的==必要条件==：
-原话：若级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛，则必有$lim_{n\to\infty} u_n =0$
-逆否：若$lim_{n\to\infty} u_n \neq 0$
三个重要级数：
1.p-级数：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}
\begin{cases}
\text{收敛}, & p>1 \
\text{发散}, & p \leq 1
\end{cases}
$$
2.几何级数(等比级数)：
$$
\sum_{n=0}^{\infty} aq^n \ (a \neq 0)
\begin{cases}
\text{收敛}, & |q| < 1 \
\text{发散}, & |q| \geq 1
\end{cases}
$$
3.广义p-级数：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha (\ln n)^\beta}
\begin{cases}
\text{收敛}, & \alpha >1 \
\text{发散}, & \alpha <1 \
\begin{cases}
\text{收敛}, & \beta >1 \
\text{发散}, & \beta \leq 1
\end{cases}, & \alpha = 1
\end{cases}
$$
收敛级数的==基本性质==：
1.$\sum_{n=1}^{\infty} ku_n$与$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$敛散性相同 ($k \neq 0$)
2.$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性
3.若$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$和$\sum_{n=1}^{\infty} v_n$都收敛，则$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n \pm v_n)=\sum_{n=1}^{\infty} u_n + \sum_{n=1}^{\infty} v_n$必收敛
4.若$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛，$\sum_{n=1}^{\infty} v_n$发散，则$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n \pm v_n)$必发散
5.若$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$和$\sum_{n=1}^{\infty} v_n$都发散，则无法判断$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n \pm v_n)$的敛散性
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